La varianza, Parte 1

Antes de meternos de lleno en materia poqueril, habría que hacer una pequeña introducción a varios aspectos como pueden ser la varianza, la desviación estándar, la distribución normal y alguna que otra cosa más. Los dos primeros artículos serán sobre la varianza. Lo he dividido en dos partes porque sino quedaba demasiado largo.

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"La estadística es una ciencia capaz de demostrar que si mi vecino tiene 2 coches y yo ninguno, los dos tenemos un coche"

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Una primera definición de la varianza podría ser: palabra usada hasta la saciedad por los jugadores de póquer cuando las cosas les van mal y que por su idiosincrasia desaparece de su vocabulario cuando las cosas mejoran.

A nivel un poco más matemático, la varianza es una medida de dispersión de los resultados con respecto a su valor esperado. ¿Y que significa esto en términos poquerísticos? Pues bien, por poner un ejemplo, nosotros tendremos un win rate (que será la media) y que nos determinará lo que “deberíamos” ganar en X manos (valor esperado). Pues a grosso modo la varianza nos ayudará a cuantificar cuan lejos es probable que estemos de nuestro valor esperado.

¿Como se calcula?

Si tenemos una distribución “P” con “n” posibles resultados y a cada cual le asociamos un valor Xi y una probabilidad Pi, la varianza la calcularemos como:

Dónde la "p" entre barras (la mierda de editor este no me deja poner el símbolo) representa la esperanza o la media. Lo que la fórmula nos dice es que debemos coger cada posible resultado, restarle la media, elevarlo al cuadrado y multiplicarlo por la probabilidad de que suceda. Si hacemos esto con cada posible resultado y los sumamos todos, obtendremos la varianza. Con un ejemplo se ve mucho más claro:

Tiramos una moneda al aire, si sale cara ganamos 1$ y si sale cruz perdemos 1$. ¿Como calculamos la varianza Vm de esta apuesta ?

Vm= (probabilidad de cara) * (lo que ganamos – la media) ^ 2 + (probabilidad de cruz) * (lo que perdemos – la media) ^ 2

Por partes. Dónde pone media, realmente nos estamos refiriendo a la esperanza o lo que tan acostumbrados estamos a ver en el mundo poqueril, EV. Y como se calcula el EV?
En realidad no es más que una especie de media ponderada. Es decir que sumamos todos los posibles resultados cada uno multiplicado por su probabilidad. En el caso que nos ocupa:

EV= (probabilidad de ganar) * (lo que ganamos) + (probabilidad de perder) *(lo que perdemos)

Como es lógico, en el caso de la moneda, tanto la probabilidad de ganar como la de perder son iguales así como lo que ganamos/perdemos con lo que el EV será 0.

EV= (½) * (1$) + (½) (-1$) = 0$

Volviendo pues al cálculo de la varianza y substituyendo en la fórmula, tendremos:

Vm = (½) * ( 1$ - 0$) ^ 2 + (½) * (-1$ - 0$) ^ 2
Vm = 1

Ya sabemos que la varianza de este lanzamiento de moneda es 1. ¿Y eso para que nos sirve? Cada cosa a su tiempo. De momento podríamos calcular ahora la varianza de una apuesta parecida pero cambiando la moneda por un dado y compararlas.

Es decir, tiramos un dado, si sale un 6 (por ejemplo), ganamos 5$ y si sale cualquier otro número, perdemos 1$. Calculamos primero el EV de la apuesta:

EV= (probabilidad de que salga 6)*(lo que ganamos cuando sale 6) + (probabilidad de que salga un numero diferente de 6)* (lo que perdemos si no sale un 6)

EV= (1/6) * ( 5$) + (5/6) * (-1$) = 0.

Como vemos, la expectativa de la apuesta es la misma que en el caso de la moneda. Ni ganamos ni perdemos. No obstante, la varianza no será la misma. ¿Será mayor o menor?

Vd= (probabilidad de 6) * (lo que ganamos – la media) ^ 2 + (probabilidad de no salga 6) * (lo que perdemos – la media) ^ 2

Vd= (1/6) * (5$ - 0$) ^ 2 + (5/6) * (-1$-0$)^2

Vd= 5

Como es lógico, la varianza es mayor en el caso del dado. Iremos perdiendo de 1$ en un 1$, pero recuperaremos 5$ de golpe cuando ganemos (cualquier parecido con los torneos MTT es pura coincidencia...). Aquí el efecto de tener una buena o mala racha será mucho más notable, nos alejaremos mucho más de la media que en el caso de la moneda.

Bueno, por hoy lo dejo ahí que sino esto se hace muy largo. En la siguiente entrada acabo de comentar las cuatro cosas que nos serán útiles para entender un poco más la varianza.